Передаточные функции по возмущению: основные понятия и свойства в автоматике
В данной статье рассматривается концепция передаточной функции по возмущению, ее определение, свойства и применение, а также приводятся примеры использования данного подхода.
Передаточные функции по возмущению: основные понятия и свойства в автоматике обновлено: 25 октября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру
Помощь в написании работы
Введение
В данной лекции мы рассмотрим понятие передаточной функции по возмущению в контексте автоматики и управления. Передаточная функция по возмущению является важным инструментом для анализа и проектирования систем управления. Она позволяет оценить влияние внешних возмущений на поведение системы и принять меры для его снижения или компенсации.
Нужна помощь в написании работы?
Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Определение передаточной функции по возмущению
Передаточная функция по возмущению (или функция чувствительности) является одним из ключевых понятий в теории автоматического управления. Она позволяет оценить, как изменения во входном сигнале (возмущении) влияют на выходной сигнал системы.
Формально, передаточная функция по возмущению определяется как отношение преобразования Лапласа выходного сигнала системы к преобразованию Лапласа входного сигнала возмущения при нулевых начальных условиях.
Математически, передаточная функция по возмущению может быть записана в виде:
S(s) = Y(s) / W(s)
- S(s) – передаточная функция по возмущению
- Y(s) – преобразование Лапласа выходного сигнала системы
- W(s) – преобразование Лапласа входного сигнала возмущения
Передаточная функция по возмущению позволяет анализировать, как изменения во входном сигнале возмущения приводят к изменениям в выходном сигнале системы. Она является важным инструментом для проектирования и анализа систем управления.
Свойства передаточной функции по возмущению
Передаточная функция по возмущению обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют анализировать и управлять системой:
Линейность
Передаточная функция по возмущению является линейной функцией, что означает, что при суммировании нескольких возмущений, выходное возмущение будет равно сумме входных возмущений, умноженных на соответствующие коэффициенты.
Стабильность
Система управления с передаточной функцией по возмущению является устойчивой, если все ее полюса имеют отрицательные вещественные части. Это означает, что система будет стремиться к установившемуся состоянию после возмущения и не будет иметь нежелательных колебаний или осцилляций.
Полезность
Передаточная функция по возмущению позволяет анализировать влияние возмущений на выходной сигнал системы. Она позволяет определить, какие типы возмущений могут вызывать наибольшее влияние на систему и какие параметры системы можно изменить, чтобы уменьшить влияние возмущений.
Устойчивость к помехам
Передаточная функция по возмущению позволяет анализировать, насколько система устойчива к помехам. Она позволяет определить, какие типы помех могут вызывать наибольшее искажение выходного сигнала и какие параметры системы можно изменить, чтобы уменьшить влияние помех.
Пропускная способность
Передаточная функция по возмущению позволяет определить пропускную способность системы, то есть ее способность передавать высокочастотные сигналы. Чем выше пропускная способность системы, тем быстрее она может реагировать на изменения во входном сигнале возмущения.
Эти свойства передаточной функции по возмущению позволяют анализировать и управлять системой управления, оптимизировать ее работу и улучшать ее производительность.
Примеры применения передаточных функций по возмущению
Анализ устойчивости системы
Передаточная функция по возмущению позволяет анализировать устойчивость системы управления. Устойчивость системы означает, что при наличии возмущений система будет стремиться вернуться к равновесному состоянию. Путем анализа передаточной функции по возмущению можно определить, как система реагирует на различные типы возмущений и насколько она устойчива к ним.
Прогнозирование и компенсация возмущений
Передаточная функция по возмущению позволяет прогнозировать и компенсировать возмущения в системе управления. Путем анализа передаточной функции можно определить, какие типы возмущений будут влиять на систему и как они будут влиять на выходной сигнал. На основе этой информации можно разработать стратегию компенсации возмущений, чтобы минимизировать их влияние на систему.
Оптимизация системы управления
Передаточная функция по возмущению позволяет оптимизировать систему управления. Путем анализа передаточной функции можно определить, какие параметры системы можно изменить, чтобы уменьшить влияние возмущений. Например, можно изменить коэффициенты усиления или время задержки, чтобы улучшить устойчивость системы или увеличить пропускную способность.
Диагностика и обнаружение неисправностей
Передаточная функция по возмущению может использоваться для диагностики и обнаружения неисправностей в системе управления. Путем анализа передаточной функции можно определить, какие типы неисправностей могут возникнуть и как они будут влиять на выходной сигнал. На основе этой информации можно разработать методы обнаружения и диагностики неисправностей, чтобы своевременно принять меры по их устранению.
Таблица свойств передаточной функции по возмущению
| Свойство | Описание |
|---|---|
| Устойчивость | Передаточная функция по возмущению является устойчивой, если при любых входных возмущениях выход остается ограниченным. |
| Чувствительность | Чувствительность передаточной функции по возмущению определяет, насколько изменение входного возмущения влияет на выход. |
| Разрешимость | Передаточная функция по возмущению является разрешимой, если существует такое входное возмущение, при котором выход достигает заданного значения. |
| Устойчивость по фазе | Устойчивость по фазе передаточной функции по возмущению означает, что фаза выходного сигнала не меняется сильно при изменении входного возмущения. |
| Устойчивость по амплитуде | Устойчивость по амплитуде передаточной функции по возмущению означает, что амплитуда выходного сигнала не меняется сильно при изменении входного возмущения. |
Заключение
В данной лекции мы рассмотрели понятие передаточной функции по возмущению и ее свойства. Передаточная функция по возмущению является важным инструментом в автоматике и управлении, позволяющим анализировать влияние возмущений на систему. Мы рассмотрели примеры применения передаточных функций по возмущению и их практическую значимость. Понимание этой концепции поможет студентам более глубоко изучить автоматику и управление и применять полученные знания на практике.
Передаточные функции по возмущению: основные понятия и свойства в автоматике обновлено: 25 октября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру
Как по передаточной функции определить работоспособность
Одной из основных задач теории автоматического регулирования и управления является изучение динамических процессов, протекающих в системах регулирования. Система всегда подвергается действию внешних возмущающих сил, которые могут вывести систему из состояния равновесия. Если система устойчива, то она противостоит внешним силам, а выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему. Устойчивость системы автоматического регулирования является одним из основных условий ее работоспособности и включает требование затухания во времени переходных процессов. Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и неработоспособной.
Впервые свойства устойчивости были исследованы русским ученым А.М.Ляпуновым в 1892 г. в работе «Общая задача об устойчивости движения». Общее условие устойчивости линейной системы можно сформулировать так: условием устойчивости системы является расположение всех корней характеристического уравнения (полюсов передаточной функции системы) в левой комплексной полуплоскости (рис. 8). Наличие корня на мнимой оси означает, что система находится на границе устойчивости.
Сформулированное выше условие устойчивости справедливо как для линейных, так и для линеаризованных систем. Однако, в случае нулевых или
обновление от 16
Методические указания к курсу лабораторных работ по дисциплине “Основы ТАУ”
направление 6.091500 “Компьютерная инженерия”
чисто мнимых корней характеристического уравнения вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть решен только на основании исследования ее нелинейных уравнений.
Рис. 8. Расположение корней характеристического уравнения системы пятого порядка: а) — устойчивой; б) — неустойчивой; в) и г) находящейся на границе устойчивости.
Поскольку вопрос о корнях f(s) любого порядка свободно решается с внедрением ЭВМ лишь в последние 10-15 лет, то ранее для исследования устойчивости использовались специально разработанные косвенные методы. На практике, для упрощения расчетов, устойчивость САР определялась с помощью критериев устойчивости. Критерии устойчивости позволяют выяснить устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения. Рассматриваются коэффициенты характеристического уравнения или некоторые их функции. Критерии устойчивости эквивалентны сформулированному выше условию устойчивости.
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частотные. К алгебраическим относят критерии Гурвица, Льенара-Шипара и Рауса, к частотным — критерии Михайлова и Найквиста.
Из алгебраических критериев устойчивости чаще используются критерии Гурвица и Рауса, по ним можно выяснить влияние коэффициентов f(s) на устойчивость системы.
По критериям Гурвица и Рауса можно судить об устойчивости системы как в замкнутом так и в разомкнутом состоянии. Критерии устойчивости широко освещаются в литературе по теории автоматического управления и регулирования [1,2,3,4 и т.д.].В лабораторном практикуме используется критерий Гурвица.
Критерий устойчивости Гурвица
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют матрицу
. (24)
Критерий формулируется так: чтобы рассматриваемая система была устойчивой, необходимо и достаточно при a 0 B B > 0 иметь положительными все диагональные определители, получаемые из матрицы (24), т.е.
обновление от 16.02.2004
Методические указания к курсу лабораторных работ по дисциплине “Основы ТАУ”
направление 6.091500 “Компьютерная инженерия”
(25)
Если а п B B > 0 , то последнее неравенство в (25) удовлетворяется при .
Система находится на границе устойчивости, если и все предыдущие определители в (25) положительны.
Для устойчивости систем первого и второго порядков достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительными. Для системы третьего порядка характеристическое уравнение системы имеет вид f(s) = a 3 B s B 3 P P + a 2 B s B 2 P P + a 1 B s B + a 0 B B = 0 , и условие устойчивости по Гурвицу будет
, т.е. произведение коэффициентов средних членов должно быть больше произведения крайних членов.
Традиционной формой [1,2,3,4] представления линейных моделей, удобной для проведения анализа динамических свойств исследуемой системы, является частотная форма. Описание в частотной области определяется набором частотных функций и частотных характеристик, как их графического отображения.
К частотным функциям относятся:
— частотная передаточная функция или комплексный коэффициент усиления
— вещественная частотная функция P(w) = ReW(jw) ;
— мнимая частотная функция Q(w) ;
— амплитудная частотная функция А(w) ;
— фазовая частотная функция ф(w) .
Частотная передаточная функция может быть представлена в двух формах: -алгебраическая форма представления
Определение передаточной функции замкнутой системы по передаточным функциям разомкнутой системы
Передаточные функции находят широкое применение при исследовании систем автоматического управления. Зная передаточную функцию системы, нетрудно определить другие динамические характеристики системы: импульсную переходную и переходную функции системы, частотные характеристики. Зная передаточную функцию системы, можно определить изменение регулируемой величины при приложении к системе воздействия произвольной формы.
В зависимости от того, рассматривается ли поведение системы при управляющем или при возмущающем воздействии, различают передаточные функции системы по управляющему и по возмущающему воздействию. При этом различают передаточные функции разомкнутых и замкнутых систем.
Передаточной функцией системы по управляющему воздействию называется отношение изображения выходной величины системы к изображению управляющего воздействия при нулевых начальных условиях.
Передаточная функция замкнутой системы по управляющему воздействию обозначается Ф(р). Она равна:
Передаточная функция разомкнутой системы по управляющему воздействию обозначается W (р). Она равна:
где Хр(р) = L[xp(t)] — изображение по Лапласу выходной величины разомкнутой системы при нулевых начальных условиях.
Передаточной функцией системы по возмущающему воздействию называется отношение изображения выходной величины системы к изображению возмущающего воздействия при нулевых начальных условиях.
Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию обозначается У(р). Она равна:
Передаточная функция разомкнутой системы по возмущающему воздействию обозначается V(р). Она равна:
При определении передаточных функций разомкнутых систем имеется в виду, что рассматривается поведение разомкнутой системы, у которой главная отрицательная обратная связь разомкнута.
Кроме рассмотренных выше передаточных функций при анализе систем автоматического управления очень часто используют передаточную функцию ошибки замкнутой системы — отношение изображения ошибки к изображению управлявшего воздействия при нулевых начальных условиях. Она обозначается Фс(р) и определяется по формуле
где Е(р) = ?[е(/)] — изображение по Лапласу ошибки системы при нулевых начальных условиях.
Определим связь между передаточными функциями разомкнутой и замкнутой систем автоматического управления. Структурная схема любой сложной многоконтурной системы с одной регулируемой величиной методами структурных преобразований может быть приведена к схеме одноконтурной системы.
Управляющее воздействие g(t) приложено ко входу звена с передаточной функцией W, (р), а возмущающее воздействие f(p) действует на входе звена с передаточной функцией W„_2(p) (рис. 5.6, а). Разомкнем систему, т. е. отключим выход звена с передаточной функцией Wn(p) от сумматора. Структурная схема системы примет вид, как показано на рис. 5.6, б. Выходная величина разомкнутой системы обозначается хр, а ее изображение Х9
Основы передаточных функций четырехполюсников: определение, свойства и применение в электротехнике
В данной статье мы рассмотрим введение в передаточные функции четырехполюсников, определим передаточную функцию, изучим ее свойства, рассмотрим примеры передаточных функций и узнаем о применении передаточных функций в электротехнике.
Основы передаточных функций четырехполюсников: определение, свойства и применение в электротехнике обновлено: 13 ноября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру
Помощь в написании работы
Введение
Передаточные функции являются важным инструментом в электротехнике, позволяющим анализировать и моделировать поведение различных электрических систем. Они описывают отношение между входными и выходными сигналами системы и позволяют предсказывать их взаимодействие.
В данной лекции мы рассмотрим определение передаточной функции, ее свойства и применение в электротехнике. Мы также рассмотрим примеры передаточных функций четырехполюсников и объясним, как использовать их для анализа и проектирования электрических систем.
Цель этой лекции – представить студентам основные концепции и инструменты, связанные с передаточными функциями, и помочь им понять их применение в реальных ситуациях. Приступим к изучению этой важной темы!
Нужна помощь в написании работы?
Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.
Определение передаточной функции
Передаточная функция – это математическое выражение, которое описывает отношение между входным и выходным сигналами в системе. Она представляет собой отношение преобразования входного сигнала к выходному сигналу в частотной области.
Передаточная функция обычно обозначается символом H(s), где s – комплексная переменная, представляющая частоту.
Передаточная функция может быть представлена в виде отношения двух полиномов в переменной s:
где N(s) – числительный полином, а D(s) – знаменательный полином.
Передаточная функция позволяет анализировать и проектировать системы с помощью методов теории управления и теории сигналов. Она позволяет определить, как система будет реагировать на различные входные сигналы и какие будут характеристики выходного сигнала.
Свойства передаточных функций
Передаточные функции обладают рядом свойств, которые позволяют анализировать и проектировать системы. Ниже приведены основные свойства передаточных функций:
Линейность
Передаточная функция является линейной, если удовлетворяет принципу суперпозиции. Это означает, что если на вход системы подается сумма нескольких входных сигналов, то на выходе будет сумма соответствующих выходных сигналов, умноженных на коэффициенты передаточной функции.
Степенная функция
Передаточная функция может быть представлена в виде степенной функции, где степень полинома в числителе и знаменателе определяет порядок системы. Например, передаточная функция первого порядка имеет степень 1, а передаточная функция второго порядка имеет степень 2.
Нули и полюса
Нули передаточной функции представляют значения переменной s, при которых числительный полином обращается в ноль. Полюса передаточной функции представляют значения переменной s, при которых знаменательный полином обращается в ноль. Нули и полюса передаточной функции определяют ее характеристики и поведение системы.
Устойчивость
Передаточная функция является устойчивой, если все ее полюса имеют отрицательные вещественные части. Устойчивая система имеет ограниченные и ограничиваемые выходные сигналы при ограниченных входных сигналах. Неустойчивая система может иметь неограниченные выходные сигналы, что приводит к нежелательным результатам.
Полоса пропускания и полоса задержки
Передаточная функция может иметь полосу пропускания, которая представляет диапазон частот, на которых система передает сигнал без искажений. Полоса задержки представляет время, которое требуется системе для передачи сигнала без искажений.
Усиление
Передаточная функция может иметь усиление, которое определяет, насколько входной сигнал будет усилен на выходе системы. Усиление может быть постоянным или зависеть от частоты.
Эти свойства передаточных функций позволяют анализировать и проектировать системы с помощью методов теории управления и теории сигналов. Они помогают определить, как система будет реагировать на различные входные сигналы и какие будут характеристики выходного сигнала.
Примеры передаточных функций четырехполюсников
Передаточная функция RC-фильтра
RC-фильтр – это электрическая цепь, состоящая из резистора (R) и конденсатора (C). Его передаточная функция определяет, как фильтр будет реагировать на входной сигнал.
Передаточная функция RC-фильтра может быть выражена следующим образом:
где H(s) – передаточная функция, s – комплексная переменная, R – сопротивление, C – емкость.
Передаточная функция операционного усилителя
Операционный усилитель (ОУ) – это электронное устройство, используемое для усиления и обработки сигналов. Его передаточная функция определяет, как ОУ будет преобразовывать входной сигнал в выходной.
Передаточная функция ОУ может быть выражена следующим образом:
где H(s) – передаточная функция, s – комплексная переменная, A – коэффициент усиления, T – постоянная времени.
Передаточная функция фильтра нижних частот
Фильтр нижних частот – это электрическая цепь, которая пропускает низкочастотные сигналы и подавляет высокочастотные сигналы. Его передаточная функция определяет, как фильтр будет реагировать на различные частоты.
Передаточная функция фильтра нижних частот может быть выражена следующим образом:
где H(s) – передаточная функция, s – комплексная переменная, T – постоянная времени.
Это лишь несколько примеров передаточных функций четырехполюсников. В электротехнике существует множество других четырехполюсников с различными передаточными функциями, которые могут быть использованы для различных целей.
Применение передаточных функций в электротехнике
Передаточные функции играют важную роль в анализе и проектировании электрических систем. Они позволяют описывать и предсказывать поведение системы в частотной области.
Анализ и проектирование фильтров
Передаточные функции используются для анализа и проектирования различных типов фильтров, таких как фильтры нижних, верхних и полосовых частот. Они позволяют определить, как фильтр будет реагировать на различные частоты и какие частоты будут подавляться или пропускаться.
Управление системами
Передаточные функции используются для управления различными системами, такими как системы автоматического регулирования и системы управления двигателями. Они позволяют определить, как система будет реагировать на входные сигналы и какие будут выходные сигналы.
Анализ и проектирование усилителей
Передаточные функции используются для анализа и проектирования усилителей. Они позволяют определить, как усилитель будет усиливать различные частоты и какие будут выходные сигналы.
Анализ и проектирование систем передачи данных
Передаточные функции используются для анализа и проектирования систем передачи данных, таких как модемы и сети связи. Они позволяют определить, как система будет передавать и принимать данные на различных частотах и какие будут искажения сигнала.
В целом, передаточные функции являются мощным инструментом для анализа и проектирования электрических систем. Они позволяют инженерам предсказывать и контролировать поведение системы в частотной области, что является важным для достижения требуемых характеристик и производительности системы.
Таблица передаточных функций четырехполюсников
| Четырехполюсник | Передаточная функция | Свойства |
|---|---|---|
| Резистор | H(s) = 1 | Не зависит от частоты |
| Конденсатор | H(s) = 1/(sC) | Пропорционально обратной частоте |
| Индуктивность | H(s) = sL | Пропорционально частоте |
| Идеальный источник напряжения | H(s) = V | Не зависит от частоты |
| Идеальный источник тока | H(s) = I | Не зависит от частоты |
Заключение
В данной лекции мы рассмотрели введение в передаточные функции четырехполюсников, определили передаточную функцию и изучили ее свойства. Также рассмотрели примеры передаточных функций четырехполюсников и их применение в электротехнике. Понимание передаточных функций является важным элементом в изучении электротехники и позволяет анализировать и проектировать различные электрические системы.
Основы передаточных функций четырехполюсников: определение, свойства и применение в электротехнике обновлено: 13 ноября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру
Передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем их связь с дифференциальными уравнениями
Связь передаточных функций и частотных характеристик разомкнутого и замкнутого контуров системы автоматического управления
Передаточные функции находят широкое применение при исследовании систем автоматического управления. Зная передаточную функцию, можно определить временные и частотные характеристики системы. Кроме того, можно определить и изменение регулируемой величины при приложении к системе воздействий произвольной формы.
В зависимости от того, рассматривается ли поведение системы при задающем или при возмущающем воздействии, различают передаточные функции системы по задающему и по возмущающему воздействиям. При этом различают передаточные функции разомкнутых и замкнутых систем.
Рассмотрим понятие передаточной функции системы по задающему воздействию.
Передаточной функцией системы по задающему воздействию называется отношение изображения по Лапласу выходной величины системы X(p)=L[x(t)] к изображению по Лапласу задающего воздействия G(p)=L[g(t)] при нулевых начальных условиях.
Передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию обозначается через Ф(р) и равна
Передаточная функция разомкнутой системы по задающему воздействию обозначается через W(p) и равна
где Xр(p) – изображение по Лапласу выходной величины разомкнутой системы при нулевых начальных условиях.
Передаточной функцией системы по возмущающему воздействию называется отношение изображения по Лапласу выходной величины системы к изображению по Лапласу возмущающего воздействия F(p)=L[f(t)] при нулевых начальных условиях.
Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию обозначается через Ff(p) и равна
Передаточная функция разомкнутой системы по возмущающему воздействию обозначается через V(p) и равна
При определении передаточных функций разомкнутых систем имеется в виду, что рассматривается поведение системы, у которой главная отрицательная обратная связь разомкнута.
Кроме рассмотренных выше передаточных функций, при анализе систем автоматического регулирования очень часто используют передаточную функцию замкнутой системы по ошибке.
Передаточной функцией замкнутой системы по сигналу ошибки называется отношение изображения по Лапласу ошибки к изображению по Лапласу задающего воздействия при нулевых начальных условиях. Она равна
где E(p)=L[e(t)] – изображение по Лапласу ошибки системы при нулевых начальных условиях.
Определим связь между передаточными функциями разомкнутой и замкнутой систем автоматического регулирования. Так как структурная схема любой сложной многоконтурной системы с одной регулируемой величиной методами структурных преобразований может быть приведена к схеме одноконтурной системы, то в общем случае структурная схема САУ может быть представлена так, как изображено на рис.7.5,а. Задающее воздействие g(t) приложено ко входу звена с передаточной функцией W1(p), а возмущающее воздействие f(t) действует на вход звена W2(p). Разомкнем систему, т.е. отключим выход звена W2(p) от сумматора. Структурная схема примет вид, изображенный на рис.7.5,б.
Пользуясь правилом структурных преобразований и применяя принцип суперпозиции, так как САУ является линейной, определим передаточные функции разомкнутой системы.
Передаточная функция разомкнутой системы по задающему воздействию при f(t)=0 будет равна
а по возмущающему воздействию при g(t)=0 будет иметь вид
Замкнем систему, т.е. вновь подключим выход звена W2(p) к сумматору (рис.7.5,а).
Рис.7.5. Преобразование структурной схемы САУ
Рассмотрим поведение системы при задающем воздействии и при f(t)=0. Тогда структурная схема САУ примет вид, как показано на рис.7.5,в, а передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию примет вид
Определим выражение для передаточной функции замкнутой системы по ошибке. Поведение системы рассматривается только при задающем воздействии, а выходной величиной системы является ошибка e (рис.7.5,г). Тогда передаточная функция замкнутой системы по ошибке равна
Сравнивая выражения (7.17) и (7.18), можно записать
Полученные выражения (7.17), (7.18) устанавливают связь между передаточной функцией разомкнутой САУ и передаточными функциями замкнутой системы соответственно по задающему воздействию и по сигналу ошибки.
Рассмотрим поведение системы только при возмущающем воздействии, т.е. g(t)=0. Тогда структурная схема системы примет вид, изображенный на рис.7.5,д, а передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию будет
Выражение (7.19) определяет связь между передаточной функцией замкнутой системы по возмущающему воздействию и передаточными функциями разомкнутой системы.
По передаточной функции разомкнутой системы по задающему воздействию можно определить характеристические полиномы и характеристические уравнения системы в разомкнутом и замкнутом состояниях. Передаточная функция W(p) может быть представлена как отношение двух многочленов:
Многочлен является характеристическим полиномом разомкнутой системы. Таким образом, характеристическое уравнение разомкнутой системы можно получить из многочлена знаменателя передаточной функции W(p) (7.20), заменив переменную и приравняв полученное выражение к нулю, т.е. Dр(s)=0. Следовательно, характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет вид:
Аналогично может быть получено характеристическое уравнение замкнутой системы. Так как
то, подставив выражение (7.20) в (7.23), получим
Таким образом, характеристическое уравнение замкнутой системы будет иметь вид:
Выражение (7.26) показывает, что характеристическое уравнение замкнутой системы можно получить по передаточной функции разомкнутой системы. Для этого необходимо просуммировать многочлен числителя и знаменателя передаточной функции W(p), заменить переменную и полученное выражение приравнять к нулю.
Вполне очевидно, что характеристическое уравнение как замкнутой, так и разомкнутой систем имеет одну и ту же степень.
Из выражений (7.17), (7.18) и (7.19) видим, что знаменатели этих выражениий одинаковые. Поэтому характеристическое уравнение замкнутой системы может быть получено по любой из передаточных функций замкнутой системы.
Передаточная функция разомкнутой системы. Передаточная функция замкнутой системы. Дифференциальное уравнение системы
Страницы работы
Фрагмент текста работы
Методические указания к практическим занятиям
Оглавление.
2. Передаточная функция разомкнутой системы……………………. 4
3. Передаточная функция замкнутой системы………………………. 4
4. Дифференциальное уравнение системы…………………………….4
5. Структурная схема замкнутой системы…………………………….5
9. Переходная характеристика…………………………………………9
11. Асимптотическую ЛАЧХ и ЛФЧХ………………………………..11
12. Анализ устойчивости системы методом Рауса – Гурвица……….13
13. Анализ устойчивости системы методом Михайлова…………….14
14. Анализ устойчивости системы методом Найквиста……………..16
15. Анализ устойчивости системы при помощи ЛАЧХ и ЛФЧХ…. 17
16. Запас устойчивости……………………………………………. …20
По заданным нулю и пяти полюсам передаточной функции разомкнутой системы автоматического регулирования выполнить следующие задания:
· Записать функцию разомкнутой системы
· Записать функцию замкнутой системы
· Записать дифференциальное уравнение системы
· Начертить структурную схему замкнутой системы
· Определить АЧХ системы
· Определить ФЧХ системы
· Определить переходную характеристику
· Определить весовую функцию
· Построить асимптотическую ЛАЧХ и ЛФЧХ
· Проанализировать устойчивость системы методом Рауса – Гурвица
· Проанализировать устойчивость системы методом Михайлова
· Проанализировать устойчивость системы методом Найквиста
· Проанализировать устойчивость системы при помощи ЛАЧХ и ЛФЧХ
· Определить запас устойчивости
2. Запишем передаточную функцию разомкнутой системы:
Подставив значения корней и полюсов, получим:
3. Запишем передаточную функцию для замкнутой системы:
Переход от разомкнутой системы к замкнутой осуществим по формуле: или , подставляя передаточную функцию разомкнутой системы, получим:
4. Запишем дифференциальное уравнение для замкнутой системы:
Передаточную функцию можно представить как отклик на воздействие , при этом оператор , учитывая вышесказанное, запишем дифференциальное уравнение:
5. Нарисуем структурную схему замкнутой системы:
Структурная схема замкнутой системы представляет собой разомкнутую систему, охваченную отрицательной обратной связью. Разомкнутая система представляет собой каскадное соединение различных звеньев. Учитывая вышесказанное, нарисуем структурную схему замкнутой системы:
Где — форсирующее звено;
и — апериодические звенья 1-го порядка;
— колебательное звено 2-го порядка;
— идеальное интегрирующее звено.
6. Амплитудно-частотная характеристика системы:
Передаточная функция системы в частотной области может быть получена заменой на :
В области резонанса:
7. Фазо-частотная характеристика системы
В области резонанса:
8. Амплитудно-фазовая характеристика системы:
Найдем реальную и мнимую части передаточной функции. Домножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное выражение
9. Определим переходную характеристику системы:
Переходная характеристика может быть выражена через передаточную функцию системы следующим образом:
, найдя оригинал от , получим:
10. Определим весовую функцию, которая может быть выражена через передаточную функцию следующим образом:
11. Найти и построить асимптотическую ЛАЧХ и ЛФЧХ:
, запишем в другом виде:
— колебательное звено 2-го порядка.
Тогда асимптотическую ЛАЧХ можно разбить на следующие интервалы:
График асимптотической ЛАЧХ:
12. Проанализируем устойчивость системы методом Рауса — Гурвица:
Для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения а0, т. е. при а0> 0 были положительными.
Рассчитаем определители, если характеристическое уравнение системы
Так как все определители положительны, система устойчива.
13. Проанализируем устойчивость системы методом Михайлова:
Для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы кривая (годограф) Михайлова при изменении частоты от 0 до , начинаясь при на вещественной положительной полуоси, обходила только против часовой стрелки последовательно п квадрантов координатной плоскости, где п — порядок характеристического уравнения.
Вектор совершает поворот на 5 квадрантов, следовательно, система устойчива.
14. Проанализируем устойчивость системы методом Найквиста:
Для устойчивости астатической системы 1-го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф разомкнутой системы не охватывал точку -1+j0.
Годограф разомкнутой системы:
Годограф не охватывает точку -1+j0, следовательно, замкнутая система будет устойчива.
15. Анализ устойчивости по ЛАЧХ и ЛФЧХ:
Для устойчивости системы необходимо, чтобы число переходов ЛФЧХ через при изменении от 0 до было четным, при условии, что ЛФЧХ
Передаточные функции систем автоматического управления
Записанные выше дифференциальные уравнения системы автоматического управления (5.4) и (5.6) могут быть получены также на основании понятия передаточной функции, которое было введено в главе 3. Рассмотрим рис. 5.1, где изображена замкнутая система автоматического управления.
Предположим вначале, что чувствительный элемент (ЧЭ) отсоединен от управляемого объекта (УО), и рассмотрим так называемую разомкнутую систему автоматического управления.
Управляющее воздействие, которое прикладывается к управляемому объекту, определяется выражением
— передаточная функция управляющего устройства, которая определяется из дифференциального уравнения управляющего устройства (5.2):
Управляемая величина может быть найдена из выражения
передаточная функция объекта по
Первая из них определяется из дифференциального уравнения объекта (5.1) при
Передаточную функцию разомкнутой системы можно определить как отношение изображений управляемой величины и ошибки при нулевых начальных значениях и возмущающих воздействиях, равных нулю:
в разомкнутой системе:
Учитывая (5.13), формулу (5.15) можно также записать в виде
Передаточная функция разомкнутой системы имеет весьма большое значение в теории автоматического управления, так как многие методы анализа и синтеза основаны на использовании именно этой функции.
Решая (5.12) и (5.17) совместно, получаем для управляемой величины
называется передаточной функцией замкнутой системы. Она устанавливает связь между управляемой величиной и задающим воздействием при равенстве пулю возмущающих воздействий:
называют передаточной функцией замкнутой системы по ошибке. Оно дает связь
между ошибкой и задающим воздействием в замкнутой системе при равенстве нулю возмущающих воздействий:
при нулевых начальных условиях и отсутствии внешних возмущений:
также при пулевых начальных условиях и отсутствии внешних возмущений.
раз по сравнению с отклонением в разомкнутой системе (5.12).
когда цепь управления разорвана и автоматическое управление отсутствует.
представляет собой полином знаменателя передаточной функции замкнутой системы:
Он равен сумме полиномов числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы (5.13).
Приравнивание нулю характеристического полинома (5.24) дает характеристическое уравнение замкнутой системы;
Оно может быть записано в более удобной форме, которая непосредственно получается из (5.18) или (5.19):
Полином знаменателя передаточной функции разомкнутой системы С(р) представляет собой характеристический полином разомкнутой системы.
Из рассмотренного видно, что знание передаточной функции разомкнутой системы позволяет найти выражение для ошибки и управляемой величины в функции задающего и возмущающих воздействий, а также характеристическое уравнение системы.
Передаточная функция разомкнутой системы может находиться непосредственно по структурной схеме и передаточным функциям входящих в нее звеньев.