4 с восклицательным знаком что это
Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n . Обозначается факториал числа n при помощи восклицательного знака, т.е. вот так: n ! 1. Вычислите: а) 1! б) 2! в) 3! г) 4! д) 5! е) 6!
Решение. а) 1! = 1
б) 2! = 1 · 2 = 2
в) 3! = 1 · 2 · 3 = 6
г) 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24
д) 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 4! · 5 = 24 · 5 = 120
е) 6! = 120 · 6 = 720
2. Вычислите: а) 5! · 6 б) 3! + 3! + 3! + 3! в) 2012!/2011!
Решение. а) 6! = 720
б) 3! · 4 = 4! = 24
в) 2012!/2011! = (2011! · 2012) / 2011! = 2012
3. Запишите все возможные наборы букв, которые можно получить перестановкой из слова ДЕТИ. Сколько таких наборов у вас получилось?
Решение. Существует 4 варианта поставить букву Д в набор (на 4 разных места); для каждого из них, когда буква Д уже поставлена, останется по 3 варианта поставить букву Е (так как одно из четырёх мест уже будет занято буквой Д); то есть, поставить буквы Д и Е можно 4 · 3 способами; для каждого из 12 этих способов (когда Д и Е уже поставлены) будет по 2 способа поставить букву Т; наконец, буква И займёт оставшееся место. Итак, всего способов 4 · 3 · 2 · 1 = 4! = 24.
4. Из города А в город Б ведет 4 дороги. Из города Б в город В — три дороги, а из В в Г — только две дороги. Сколькими способами можно из А добраться до Г?
Решение. Есть 4 способа проехать из А в Б. Для каждого из этих четырёх способов есть три способа проехать из Б в В, то есть 4 · 3 = 12 способов проехать из А в В (так как выбор дороги между Б и В не зависит от выбора дороги между А и Б). Наконец, для каждого из 12 этих способов есть 2 способа проехать из В в Г. Итак, всего 12 · 2 = 24 способа.
5. Проказница-Мартышка,
Осел, Козел, да косолапый Мишка
Затеяли сыграть Квартет.
Достали нот, баса, альта, две скрипки
И сели на лужок под липки, —
Пленять своим искусством свет.
Ударили в смычки, дерут, а толку нет.
«Стой, братцы, стой!» кричит Мартышка: «Погодите!
Как музыке идти? Ведь вы не так сидите!»
Дай баснописцу на вопрос ответ
На тех же четырех местах всего
Есть сколько способов рассадки у него?
6. Маша нарисовала карандашом на бумаге квадрат и хочет раскрасить его стороны в синий, зеленый, красный и желтый цвета одновременно. Сколькими способами она может это сделать?
7. В чем состоит связь между задачами 3, 4, 5 и 6?
Ответ. Количество способов расставить n разных объектов в ряд равно n !
8. В роте n солдат. Сколькими способами можно расставить их в ряд?
9. Код для сейфа фирмы Невлезайубьет должен состоять из десяти различных цифр и 33 различных букв. Богач Скуперфильд, опасаясь за свои сокровища, каждый день выбирает новый (т.е. такой, которого еще ни разу не было) код к своему сейфу. На протяжении скольки дней он сможет это делать?
Ответ. (10 + 33)! = 43!
Решение. По условию задачи, все 10 цифр и все 33 буквы должны присутствовать в каждом коде, причём без повторений. То есть, выбор кода — это расстановка 10 + 33 = 43 символов по местам. Рассуждая, как обычно, находим, что число таких расстановок равно 43!.
10. В футбольной команде 2 нападающих, 4 полузащитника, 4 защитника и 1 вратарь. Сколькими способами можно построить их в ряд так, чтобы первым стоял вратарь, за ним стояли защитники, за ними — полузащитники, и в конце — нападающие?
Решение. Вратарь становится в ряд однозначно. Защитников можно выстроить 4! способами. Для каждого выстраивания защитников есть ещё 4! способов выстроить полузащитников, то есть выстроить и тех, и других можно 4! · 4! = 24 · 24 = 576 способами. Наконец, для каждого из 576 этих способов есть 2! = 2 способа выстроить нападающих, итого 576 · 2 = 1152 способов расстановки всей команды.
- ЗАДАЧИ
- 5 класс
- Плюс-минус один
- Обратный ход
- Посчитай-ка
- Скобки и знаки
- Рыцари и лжецы
- Движение
- Движение (доп. задачи)
- Факториал
- Комбинаторика (доп. задачи)
- Математическая абака
- Комбинаторика
- Козы
- Переливания
- Предновогодний Оливье
- Математическая карусель
- Всюду идут дороги
- Разные задачи
- Разрезалки
- Круги Эйлера
- Принцесса или тигр
- Магические фигуры
- Двумя способами
- Конструкции
- ЗАДАЧИ
- ауд. П3 (рук. Л. А. Попов)
| Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! | |
Факториал
Слово факториал произошло от латинского factor (делающий, производящий).
Запомните!
Факториал числа — это произведение натуральных чисел от 1 до самого числа (включая данное число).
Обозначается факториал восклицательным знаком « ! ».
- 3! = 1 · 2 · 3 = 6
- 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720
Факториал определён только для натуральных чисел и нуля.
Запомните!
Факториал нуля и единицы это 1 .
Термин факториал ввел в 1800 году францзузский математик Аргобаст Луи Франсуа Антуан.
Обозначение « n! » придумал чуть позже немецкий математик Кристиан Крамп в 1808 году.
Интересные факториалы проверьте сами:
- 145 = 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145
- 40 585 = 4! + 0! + 5! +8! + 5!
На нашем ресурсе вы также можете посчитать факториал онлайн.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».
11 марта 2016 в 10:55
Феодосий Кузнецов Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
Феодосий Кузнецов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
11 марта 2016 в 14:23
Ответ для Феодосий Кузнецов
Юрий Резник Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 6
Юрий Резник
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 6
Убедительная просьба — описывайте задание!
Факториал числа — это произведения натуральных чисел от 1 до самого числа (включая данное число).
Выражение в задаче состоит из разделенных знаком деления двух частей: (х + 1)! и (х ? 1)!
Факториал выражения (х + 1) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до числа (х + 1) или, другими словами, это произведение всех натуральных чисел от 1 до х, включая само число х и, вдобавок, это произведение нужно еще умножить на число (х + 1), то есть нужно сделать еще один шаг в «цепочке» произведений.
Запишем вышесказанное формулой.
Для упрощения понимания задачи допустим, что х больше 3, хотя он может быть любым натуральным числом.
Итак, имеем равенство:
(х + 1)! = 1 · 2 · 3 ·… · х · (х + 1) .
Рассмотрим выражение 1 · 2 · 3 · . · х · (х + 1) подробнее.
Часть выражения до скобок — это ни что иное, как факториал х, так как эта часть есть произведения от 1 до х включительно, то есть:
1 · 2 · 3 · . · х = х!
Заменим эту часть выражения в равенстве
(х + 1)! = 1 · 2 · 3 · . · х · (х + 1),
получим:
(х + 1)! = х! · (х + 1)
Мы видоизменили «первую» часть выражения в задаче.
Рассмотрим теперь «вторую» часть.
Факториал выражения (х ? 1) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до числа (х ? 1) или, другими словами, это произведение всех натуральных чисел от 1 до х, включая само число х, НО это произведение, вдобавок, нужно разделить на число х, то есть нужно сделать шаг назад в «цепочке» произведений.
Запишем вышесказанное формулой:
(х ? 1)! =
| х! |
| х |
А теперь подставим наши видоизмененные выражения в исходное выражение задачи:
| (х + 1)! |
| (х — 1)! |
= х! · (х + 1) /
| х! |
| х |
=
=
| Х! · (х + 1) · х |
| Х! |
=
| 1 · (х + 1) · х |
| 1 |
=
= (х +1) · х = х 2 + х.
Итак,
| (х + 1)! |
| (х — 1)! |
= х 2 + х.
Проверим. Предположим, что х = 5, тогда:
| (5 + 1)! |
| (5 — 1)! |
= 5 2 + 5;
| (6)! |
| (4)! |
= 25 + 5;
| 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 |
| 1 · 2 · 3 · 4 |
= 30;
| 720 |
| 24 |
= 30;
30 = 30.
Математика с восклицательным знаком!
В самом начале этой книги мы говорили о том, как посчитать сумму всех чисел от 1 до 100. И мы справились – у нас получилось 5050. Также мы нашли замечательную формулу для подсчета суммы первых n. А почему бы теперь не поискать произведение чисел от 1 до 100? Даже по примерным прикидкам результат получится просто гигантским! Если вам интересно, скажу: это число, состоящее из 158 знаков. Вот оно:
В этой главе вы увидите, как использовать такие огромные числа для счета. Они помогут нам узнать, сколько существует способов расставить на книжной полке дюжину книжек (примерно полмиллиарда), какие у вас шансы собрать хотя бы одну пару в покере (не такие уж и маленькие) или выиграть в лотерее (не такие уж и большие).
Когда мы перемножаем все числа от 1 до n, для обозначения произведения мы используем n! что читается как «факториал числа n». Другими словами,
n! = n ? (n – 1) ? (n – 2) ?… ? 3 ? 2 ? 1
5! = 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 120
Мне кажется, символ восклицательного знака подходит здесь как нельзя лучше: значение числа n! увеличивается очень быстро и, как мы увидим чуть позже, таит в себе много удивительного. Для удобства математики определяют значение 0! = 1. А еще n! не определяется, когда n – отрицательная величина.
Отступление
Казалось бы, 0! должен быть равен 0. Но это почему-то не так: 0! = 1. Давайте разберемся, почему. Обратите внимание, что для n ? 2 n! = n ? (n – 1)! а значит
Если мы хотим, чтобы наше утверждение оставалось верным для n = 1, нам понадобится
Итак, факториалы растут очень и очень быстро. Посмотрите сами:
Насколько велики эти числа? Ученые говорят, что количество всех-всех песчинок в мире равняется 10. А количество всех-всех атомов во Вселенной – 10 80 . Так вот, если вы тщательно перемешаете колоду из 52 карт (что, как мы чуть позже узнаем, может быть сделано 52! способами), шансы на то, что в таком порядке они сложатся впервые со времен изобретения карт и никогда больше не сложатся снова, близки к 100 %. И это при условии, что все люди на Земле каждую минуту на протяжении нескольких миллионов лет будут тасовать каждый свою колоду.
Отступление
В начале главы вы, скорее всего, заметили, каким огромным количеством нолей заканчивается факториал 100! Откуда они берутся? При перемножении чисел от 1 до 100 мы получаем ноль всякий раз, когда умножаем число, кратное 5, на число, кратное 2. Первых в промежутке от 1 до 100 будет 20, вторых (по сути, всех четных) – 50, что, по идее, дает нам в конце 20 нолей. Но ведь числа 25, 50, 75 и 100 дают нам дополнительные коэффициенты пятерки, поэтому 100! будет иметь в итоге 24 ноля.
Как и в главе 1, здесь мы увидим несколько замечательных математических закономерностей, в которых используются факториалы. Вот, например, одна из моих любимых:
что значит восклицательный знак после цифры? например, как в этом выражении 1!*3-2!*4+3!*5-4!*6+. -2000!*2002+2001!
Angel in disguise Мастер (1578) Ну один факториал умножить а 3-2 факториала и т.д. основная формула факториала n!=n*(n-1)! т.е 1!=0 далее 0*3-2(2-1). ну и т.д.
например:
две тыщи и ниипет!
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.